电磁感应 · 专题

双杆电磁感应：从高中物理到微分方程

速度差并不是突然消失，而是在电磁阻尼作用下按指数规律衰减
知识层级：
高等数学模式将额外显示微分方程、指数解、特征时间、定积分与极限。
图 1　装置示意（俯视图，回路电流、安培力与电荷分布随速度关系实时判断）
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实时状态面板

实时图像

图 2　速度—时间图像
图 3　电流—时间图像（标注 t = τ 处 I ≈ I₀/e）
图 4　相对速度 u = v₂ − v₁ 的指数衰减
图 4　广义状态量 w = B₁v₁ + B₂v₂ 的指数衰减
图 5　能量—时间图像（动能 + 焦耳热 = 初始机械能）
图 6　加速度—时间图像（加速度大小逐渐减小并趋于 0）

模型 A：两棒位于同一匀强磁场

两根导体棒放在水平平行导轨上，杆长均为 L， 质量分别为 m₁、m₂， 两棒总电阻为 R，匀强磁场大小为 B， 方向垂直导轨平面。忽略导轨电阻、机械摩擦与回路自感。初始条件：

v₁(0) = 0，　v₂(0) = v₀ > 0
模型 A 中，两棒受到的安培力大小相等、方向相反，因此两棒系统沿导轨方向动量守恒。
该过程与完全非弹性碰撞具有相同的末态动量关系和机械能损失形式， 但物理本质是连续的电磁阻尼过程，而不是瞬时碰撞。

电路与受力

I(t) = BL[v₂(t) − v₁(t)] / R，　记 k = B²L²/R
m₁·dv₁/dt = k(v₂ − v₁)，　m₂·dv₂/dt = −k(v₂ − v₁)

运动性质与最终状态

杆 1 从静止开始向右加速，杆 1 的加速度为正，加速度大小逐渐减小并趋于 0； 杆 2 向右减速，杆 2 的加速度为负，加速度大小逐渐减小并趋于 0。最终两棒达到共同速度：

v∞ = m₂v₀ / (m₁ + m₂)

累计电荷量与总焦耳热：

q∞ = m₁m₂v₀ / [BL(m₁+m₂)]，　Q∞ = m₁m₂v₀² / [2(m₁+m₂)]

相对位移不断增加、最终趋于有限值，两棒并不一定发生机械接触：

Δx_rel(t) = ∫₀ᵗ [v₂(s) − v₁(s)] ds = v₀τ(1 − e^(−t/τ)) → v₀τ
查看微分方程推导（模型 A）
1.写出两个牛顿第二定律：
m₁·dv₁/dt = k(v₂−v₁)，　m₂·dv₂/dt = −k(v₂−v₁)
2.定义相对速度 u = v₂ − v₁。
3.计算
du/dt = dv₂/dt − dv₁/dt = −k(1/m₁ + 1/m₂)·u
4.这是标准的一阶齐次线性微分方程 du/dt = −u/τ，其中
τ = m₁m₂R / [B²L²(m₁+m₂)]
5.用分离变量法求解：
∫du/u = −∫dt/τ　⇒　ln u = −t/τ + C
6.积分常数由初始条件 u(0) = v₀ 确定。
7.得到指数衰减解：
u(t) = v₀·e^(−t/τ)

再结合质心速度守恒 V_cm = (m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂) = m₂v₀/(m₁+m₂)，得到完整速度函数：

v₁(t) = m₂v₀/(m₁+m₂)·(1 − e^(−t/τ))，　v₂(t) = m₂v₀/(m₁+m₂) + m₁v₀/(m₁+m₂)·e^(−t/τ)

电流、电荷量与能量：

I(t) = BLv₀/R·e^(−t/τ)，　q(t) = q∞(1 − e^(−t/τ))，　dEₖ/dt = −I²R

模型 B：两棒位于方向相反、大小可不同的磁场

杆 1 所在磁场大小为 B₁，杆 2 所在磁场大小为 B₂，两区域磁场方向相反。仍取向右为速度正方向，初始条件 v₁(0)=0，v₂(0)=v₀。 注意 v₁、v₂ 都是带符号速度： 杆 1 后来向左运动，因此 v₁ < 0。

电动势与动力学方程

ε = L(B₁v₁ + B₂v₂)，　I = L(B₁v₁ + B₂v₂)/R
m₁·dv₁/dt = −B₁LI，　m₂·dv₂/dt = −B₂LI

两棒所受安培力方向相同、大小通常不同，两棒系统合外力不为零：

F_ext = −(B₁ + B₂)LI ≠ 0
如果只把两根导体棒作为研究系统，则系统受到来自磁场源的外力， 因此两棒的机械动量不守恒。完整封闭系统的总动量仍然守恒。

核心状态量

模型 B 中真正按指数衰减的核心状态量，不是简单的速度差，而是 w = B₁v₁ + B₂v₂。
w(t) = B₂v₀·e^(−t/τ_B)，　τ_B = R / [L²(B₁²/m₁ + B₂²/m₂)]

最终稳定状态

当 t → ∞ 时电流趋于零，因此总动生电动势必须为零：

B₁v₁∞ + B₂v₂∞ = 0　⇔　B₂v₂∞ = −B₁v₁∞
v₁∞ = −B₁B₂m₂v₀ / (m₁B₂² + m₂B₁²)，　v₂∞ = B₁²m₂v₀ / (m₁B₂² + m₂B₁²)
易错点：稳定条件不是 B₂v₂ = B₁v₁。
由于 v₁ 是带符号速度并且最终向左，所以正确条件为：
B₁v₁ + B₂v₂ = 0　或写成　B₂v₂ = −B₁v₁

能量关系

dEₖ/dt = −I²R，　Q∞ = B₂²m₁m₂v₀² / [2(m₁B₂² + m₂B₁²)]
两棒的机械动量不守恒，不代表能量关系失效。机械能减少量仍然等于电阻产生的焦耳热。
查看微分方程推导（模型 B）
1.写出两个牛顿第二定律：
m₁·dv₁/dt = −B₁LI，　m₂·dv₂/dt = −B₂LI，　I = L(B₁v₁+B₂v₂)/R
2.定义广义状态量 w(t) = B₁v₁(t) + B₂v₂(t)。
3.对时间求导并代入动力学方程：
dw/dt = B₁·dv₁/dt + B₂·dv₂/dt = −(L²/R)(B₁²/m₁ + B₂²/m₂)·w
4.同样是一阶齐次线性微分方程，由初值 w(0)=B₂v₀ 得：
w(t) = B₂v₀·e^(−t/τ_B)，　I(t) = LB₂v₀/R·e^(−t/τ_B)
5.累计电荷量：
q(t) = q∞(1 − e^(−t/τ_B))，　q∞ = B₂m₁m₂v₀ / [L(m₁B₂² + m₂B₁²)]
6.由冲量关系 m₁v₁(t) = −B₁Lq(t)，m₂[v₂(t)−v₀] = −B₂Lq(t) 得到完整速度函数：
v₁(t) = −B₁B₂m₂v₀/(m₁B₂²+m₂B₁²)·(1 − e^(−t/τ_B))
v₂(t) = v₀ − B₂²m₁v₀/(m₁B₂²+m₂B₁²)·(1 − e^(−t/τ_B))

杆 1 速度曲线位于时间轴下方（速度箭头向左），杆 2 的速度保持为正并逐渐减小。

高等数学视角

1. 一阶线性微分方程

dy/dt = −λy　⇒　y(t) = y(0)·e^(−λt)

系统某个状态量的变化率与该状态量本身成正比，但方向相反，因此状态量呈指数衰减。

2. 特征时间

y(τ) = y(0)/e

t = τ 时状态量降为初值的约 36.8%；t = 3τ 时约剩 5.0%；t = 5τ 时约剩 0.67%。 数学上永远不严格等于零；物理上经过约 5τ 后通常可以视为稳定。

3. 定积分的物理意义

q(t) = ∫₀ᵗ I(s) ds

电流—时间图像下的面积代表通过回路的电荷量。

Δx_rel(t) = ∫₀ᵗ [v₂(s) − v₁(s)] ds

相对速度—时间图像下的面积代表相对位移。

Q(t) = ∫₀ᵗ I²(s)R ds

焦耳热功率—时间图像下的面积代表累计焦耳热。

4. 极限思想

lim (t→∞) e^(−t/τ) = 0

“最终稳定”是极限概念，并不是有限时刻突然停止变化。

公式适用条件

q = −ΔΦ/R

只能在以下条件下直接使用：回路总电动势完全由磁通量变化产生；总电阻恒定；忽略自感； 无独立电源；无电容器电压贡献。

若回路中含电容，则应使用完整回路方程：

RI + U_C = −dΦ/dt

此时不能机械套用 q = −ΔΦ/R。

探究与思考

探究 1　改变 R

增大电阻，观察特征时间如何变化。引导结论： τ ∝ R。 电阻越大，电流越小，电磁阻尼越弱，达到稳定状态越慢。

探究 2　改变 B

增大磁感应强度，观察 τ ∝ 1/B²。 磁场越强，电磁阻尼越强，系统更快趋于稳定。

探究 3　改变 m₁、m₂（模型 A）

在模型 A 中改变两棒质量，观察最终共同速度 v∞ = m₂v₀/(m₁+m₂) 如何变化。

探究 4　令 B₁ = B₂（模型 B）

在模型 B 中令两处磁感应强度相等，比较它与模型 A 是否相同。 即使磁感应强度大小相等，只要磁场方向和电路几何关系不同，动力学模型也不一定与模型 A 相同。

探究 5　验证稳定条件（模型 B）

观察状态面板：B₁v₁ + B₂v₂ → 0， 但通常 v₂ − v₁ ↛ 0——两棒最终并不共速。